Механическая энергия, закон сохранения энергии

Энергия позволяет решать задачи, в которых трудно или невозможно использовать законы Ньютона: движение по кривой траектории, по горке неизвестной формы, под действием переменной силы. Не нужно разбираться, как именно тело двигалось: достаточно сравнить два состояния, начальное и конечное.

Где встречается в ЕГЭ. Работа, мощность, энергия и закон сохранения энергии входят в линию законов сохранения: расчётная задача в задании №3. В заданиях №5 и №6 нужно анализировать превращения энергии и читать графики. Законы сохранения также используются в расчётных заданиях №22 и №26, в №26 их применимость нужно ещё и обосновать.

Чему ты научишься

считать работу и мощность силы, определять знак работы и находить работу по графику;
находить кинетическую и потенциальную энергию (в поле тяжести и пружины) и применять теорему о кинетической энергии;
понимать, когда механическая энергия сохраняется, и записывать закон сохранения;
находить работу силы трения через изменение механической энергии.

Работа силы

Вектор силы F под углом α к вектору перемещения s; составляющая силы вдоль перемещения равна F cos α

Рис. 1. Работу совершает только составляющая силы вдоль перемещения: $A = (F\cos\alpha)\,s$ .

Угол $\alpha$	Работа	Пример
$0^\circ \le \alpha < 90^\circ$	$A > 0$	сила тяги, сила тяжести при падении
$\alpha = 90^\circ$	$A = 0$	реакция опоры при движении по горизонтали, центростремительная сила
$90^\circ < \alpha \le 180^\circ$	$A < 0$	сила трения, сила тяжести при подъёме

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а определяется только изменением высоты: $A_{mg} = mg(h_1 - h_2) = -\Delta E_{\text{п}}$ . Сила тяжести и сила упругости — консервативные силы, сила трения — нет: её работа зависит от пути.

Работа по графику $F_s(s)$

Если сила меняется, работа равна площади под графиком зависимости проекции силы на перемещение от пути (площадь выше оси берут со знаком «плюс», ниже — «минус»).

График проекции силы от пути: прямоугольник и треугольник под графиком, площадь каждого 12 Дж, всего работа 24 Дж

Рис. 2. Работа равна площади фигуры под графиком: прямоугольник $6 \cdot 2 = 12$ Дж плюс треугольник $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$ Дж, итого $A = 24$ Дж.

Работа силы упругости пружины считается так же: сила растёт линейно от 0 до $kx$ , площадь треугольника $\frac{1}{2}kx \cdot x$ , то есть по модулю $A = \dfrac{kx^2}{2}$ .

Мощность и КПД

Мощность показывает, как быстро совершается работа. Вторая запись удобна, когда известна скорость: при движении по прямой в направлении силы $P = Fv$ . КПД механизма:

$\eta = \frac{A_{\text{полезная}}}{A_{\text{затраченная}}} \cdot 100\% .$

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия — скаляр, она не может быть отрицательной. Теорема о кинетической энергии: работа равнодействующей (то есть сумма работ всех сил) равна изменению кинетической энергии. Это второй закон Ньютона, записанный через работу.

Потенциальная энергия

Высота $h$ отсчитывается от выбранного нулевого уровня. От выбора уровня зависит сама энергия, но не её изменение: $\Delta E_{\text{п}} = mg\,\Delta h$ , и именно оно входит во все законы. Потенциальная энергия пружины не зависит от знака деформации: сжатая и растянутая на одну длину пружины обладают равной энергией.

Три графика энергии: парабола кинетической энергии от скорости, прямая потенциальной энергии от высоты, парабола энергии пружины от деформации

Рис. 3. Парабола для $E_{\text{к}}(v)$ и для энергии пружины, прямая для $E_{\text{п}}(h)$ в поле тяжести. Для пружины наклон на графике зависит от жёсткости: $E_{\text{п}} = \frac{1}{2}k\,\Delta x^2$ .

Закон сохранения механической энергии

Полная механическая энергия тела (системы): $E_{\text{мех}} = E_{\text{к}} + E_{\text{п}}$ .

Алгоритм

Выбери два состояния (начальное и конечное) и нулевой уровень потенциальной энергии.
Проверь, есть ли силы, совершающие работу, кроме тяжести и упругости. Реакция опоры и натяжение нити, перпендикулярные перемещению, работы не совершают.
Запиши $E_{\text{к}} + E_{\text{п}}$ в обоих состояниях и приравняй (или добавь $A_{\text{нк}}$ ).
Реши уравнение. Массу часто можно сократить.

График энергии мяча, брошенного вверх: кинетическая энергия убывает, потенциальная растёт, сумма постоянна и равна 25 Дж

Рис. 4. При подъёме $E_{\text{к}}$ убывает, $E_{\text{п}}$ растёт, а сумма остаётся постоянной (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Высота подъёма: $E_{\text{п}} = E_{\text{к}}^{(0)}$ , $5h = 25$ , $h = 5$ м.

Падение тела

Тело падает с высоты $h = 20$ м без начальной скорости. На земле ( $E_{\text{п}} = 0$ ): $mgh = \dfrac{mv^2}{2}$ , $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20} = 20$ м/с.

Горка без трения

Санки съезжают с гладкой горки высотой 5 м. Скорость внизу $v = \sqrt{2gh} = 10$ м/с. Форма горки не важна: значение имеет только разность высот.

Пружина

Шарик массой $m = 0{,}5$ кг выталкивается пружиной жёсткостью $k = 200$ Н/м, сжатой на $x = 0{,}1$ м, по гладкой горизонтали. Энергия пружины целиком переходит в кинетическую: $\dfrac{kx^2}{2} = \dfrac{mv^2}{2}$ , $v = x\sqrt{\dfrac{k}{m}} = 0{,}1\sqrt{400} = 2$ м/с.

Есть трение

Санки массой 20 кг съехали с горки высотой 5 м, у подножия скорость 8 м/с. Работа силы трения: $A_{\text{тр}} = E_{\text{мех}}^{(2)} - E_{\text{мех}}^{(1)} = \dfrac{mv^2}{2} - mgh = 640 - 1000 = -360$ Дж. Знак «минус» показывает, что механическая энергия перешла в тепло.

Обоснование в задании №26

Если в задаче №26 применяется закон сохранения энергии, в решении записывают, почему он применим: задача решается в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй; тело считается материальной точкой; на тело действуют только консервативные силы (тяжести, упругости), а сила реакции опоры (натяжения нити) перпендикулярна перемещению и работы не совершает; трением и сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому механическая энергия сохраняется.

Разбор заданий в формате ЕГЭ

Задание типа №3. Мяч массой 0,5 кг брошен вертикально вверх со скоростью 10 м/с. Какова кинетическая энергия мяча на высоте 3 м? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение: $E_{\text{мех}} = \dfrac{mv_0^2}{2} = 25$ Дж, $E_{\text{п}} = mgh = 0{,}5 \cdot 10 \cdot 3 = 15$ Дж, $E_{\text{к}} = 25 - 15 = 10$ Дж. Ответ: 10.

Задание типа №3 (работа). Сила 20 Н действует на тело под углом $60^\circ$ к направлению перемещения 4 м. Найдите работу силы.

Решение: $A = Fs\cos\alpha = 20 \cdot 4 \cdot 0{,}5 = 40$ Дж. Ответ: 40.

№5, выбор верных утверждений. Мяч бросили вертикально вверх, сопротивлением воздуха можно пренебречь. Выберите все верные утверждения для движения мяча вверх.

В верхней точке траектории кинетическая энергия мяча равна нулю.
Полная механическая энергия мяча при подъёме уменьшается.
Потенциальная энергия мяча при подъёме увеличивается.
Работа силы тяжести при подъёме мяча положительна.
Сумма кинетической и потенциальной энергии мяча остаётся постоянной.

Разбор. Верны 1, 3 и 5. Утверждение 2 неверно: трения нет, механическая энергия сохраняется. Утверждение 4 неверно: сила тяжести направлена против перемещения, её работа отрицательна ( $A = -\Delta E_{\text{п}} < 0$ ). Ответ: 135.

№6, изменение величин. Брусок равномерно скользит вниз по шероховатой наклонной плоскости. Как изменяются при этом его кинетическая энергия и потенциальная энергия? 1) увеличивается; 2) уменьшается; 3) не изменяется.

Разбор. Скорость постоянна, значит $E_{\text{к}}$ не изменяется. Высота уменьшается, значит $E_{\text{п}}$ уменьшается. Полная механическая энергия уменьшается из-за работы силы трения. Ответ: 32.

Типичные ошибки

Ошибка	Как правильно
Считают работу всегда положительной	знак зависит от угла: у силы трения $A < 0$ , у силы тяжести при подъёме $A < 0$
Берут $A = Fs$ при силе под углом к перемещению	нужен множитель $\cos\alpha$ ; при $\alpha = 90^\circ$ работа равна нулю
Считают, что $E_{\text{к}} \sim v$	$E_{\text{к}} = mv^2/2$ : скорость вдвое больше ⇒ энергия в 4 раза больше
Применяют закон сохранения при наличии трения	с трением $E_{\text{мех}}^{(2)} - E_{\text{мех}}^{(1)} = A_{\text{тр}} < 0$
Забывают выбрать нулевой уровень $h$	сначала задай уровень, потом считай $mgh$ в обоих состояниях
Берут в $E_{\text{п}}$ пружины деформацию в см или забывают квадрат	$E_{\text{п}} = k\,\Delta x^2/2$ , длину переводят в метры
Путают мощность и работу, Вт и Дж	$P = A/t$ ; ватт — это джоуль в секунду

Шпаргалка

Что найти	Формула	Комментарий
Работа силы	$A = Fs\cos\alpha$	Дж; по графику — площадь
Мощность	$P = \dfrac{A}{t} = Fv\cos\alpha$	Вт
КПД	$\eta = \dfrac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{затр}}} \cdot 100\%$
Кинетическая энергия	$E_{\text{к}} = \dfrac{mv^2}{2}$	скаляр, $\ge 0$
Теорема о кинетической энергии	$A_{\text{всех сил}} = \Delta E_{\text{к}}$
Потенциальная энергия в поле тяжести	$E_{\text{п}} = mgh$	от нулевого уровня
Потенциальная энергия пружины	$E_{\text{п}} = \dfrac{k\,\Delta x^2}{2}$	$\Delta x$ в метрах
Работа силы тяжести	$A = mg(h_1 - h_2) = -\Delta E_{\text{п}}$	не зависит от пути
Закон сохранения энергии	$E_{\text{к}}^{(1)} + E_{\text{п}}^{(1)} = E_{\text{к}}^{(2)} + E_{\text{п}}^{(2)}$	без трения
Изменение механической энергии	$E_{\text{мех}}^{(2)} - E_{\text{мех}}^{(1)} = A_{\text{нк}}$	с трением $A_{\text{тр}} < 0$

Задачи для самопроверки

Груз массой 2 кг равномерно поднимают на высоту 5 м за 10 с. Найдите работу силы, поднимающей груз, и её мощность.
Кинетическая энергия тела массой 3 кг при скорости 4 м/с. Во сколько раз она изменится, если скорость увеличить до 8 м/с?
Камень массой 0,2 кг брошен вертикально вверх со скоростью 10 м/с. Найдите максимальную высоту подъёма и скорость камня на высоте 3,2 м. Сопротивлением пренебречь.
Шарик массой 0,5 кг выталкивается пружиной жёсткостью 200 Н/м, сжатой на 10 см, по гладкой горизонтальной поверхности. Найдите скорость шарика.
Санки массой 20 кг съехали с горки высотой 5 м, у подножия скорость 8 м/с. Найдите работу силы трения.

Ответы

$F = mg = 20$ Н, $A = Fh = 100$ Дж, $P = A/t = 10$ Вт.
$E_{\text{к}} = \dfrac{3 \cdot 16}{2} = 24$ Дж; при $v = 8$ м/с энергия станет 96 Дж, то есть увеличится в 4 раза.
$h_{\max} = \dfrac{v_0^2}{2g} = 5$ м; на высоте 3,2 м: $v^2 = v_0^2 - 2gh = 100 - 64 = 36$ , $v = 6$ м/с.
$\dfrac{kx^2}{2} = \dfrac{mv^2}{2}$ , $v = x\sqrt{k/m} = 0{,}1 \cdot 20 = 2$ м/с.
$A_{\text{тр}} = \dfrac{mv^2}{2} - mgh = 640 - 1000 = -360$ Дж.